Aldo e Baldo iniciaram um jogo de adivinhação. Nesse jogo, Aldo usou uma calculadora para multiplicar os números consecutivos 1 x 2 x 3 x ... x k, e entregou a calculadora a Baldo,

Gabarito

D

Comentário do professor

A resposta correta para a questão é o valor de k = 17.

Vamos analisar por que 17 é o maior valor possível para k considerando as divisões sucessivas por 3.

Aldo calcula o produto dos números de 1 a k, representado como \( k! = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times k \). Baldo, ao realizar divisões por 3, obteve resultados inteiros nas seis primeiras divisões e um número não inteiro na sétima, indicando que \( k! \) possui exatamente 6 fatores de 3.

Para determinar quantos fatores de 3 existem em \( k! \), podemos usar a fórmula:

\( \text{número de fatores de 3 em } k! = \left\lfloor \frac{k}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{k}{9} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{k}{27} \right\rfloor + \ldots \)

Por exemplo:

• Para \( k = 17 \):
• \( \left\lfloor \frac{17}{3} \right\rfloor = 5 \)
• \( \left\lfloor \frac{17}{9} \right\rfloor = 1 \)
• Portanto, total = \( 5 + 1 = 6 \) (6 fatores de 3)

Agora, vamos verificar \( k = 18 \) para entender por que não é a resposta correta:

• Para \( k = 18 \):
• \( \left\lfloor \frac{18}{3} \right\rfloor = 6 \)
• \( \left\lfloor \frac{18}{9} \right\rfloor = 2 \)
• Portanto, total = \( 6 + 2 = 8 \) (8 fatores de 3)

Com isso, se considerássemos \( k = 18 \), poderíamos dividir o resultado por 3 até 8 vezes, contrariando a condição do problema, que afirma que a sétima divisão deve resultar em um número não inteiro.

Desse modo, a única e correta conclusão é que o maior valor para k, onde ainda se mantém a condição de 6 divisões inteiras por 3, é 17.