Considere que a sequência de números reais \((\frac{π}{3},\frac{2π}{3},...)\) representa uma progressão geométrica e que \(sen\)\(\left ( \frac{π}{3} \right )=\)\(\frac{\sqrt{3}}{2

Gabarito

Certo

Comentário do professor

A alternativa correta é \(\sqrt{3}\). Vamos entender como chegamos a esse resultado.

A sequência dada, \(\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, ...\right)\), é uma progressão geométrica (PG) onde a razão entre os termos é constante. No caso, a razão é 2, pois:

Razão = \(\frac{2\pi/3}{\pi/3} = 2\)

Portanto, o terceiro termo dessa PG pode ser calculado multiplicando o segundo termo pela razão:

\( \frac{2\pi}{3} \times 2 = \frac{4\pi}{3} \)

Agora, precisamos encontrar a tangente do terceiro termo, que é \(\tan\left(\frac{4\pi}{3}\right)\).

Para isso, vamos converter \(\frac{4\pi}{3}\) em graus. Como \(\pi\) equivale a \(180°\), temos:

\( \frac{4\pi}{3} = \frac{4 \times 180°}{3} = 240° \)

Agora, lembramos que a tangente de um ângulo pode ser definida como a razão entre o seno e o cosseno desse ângulo. Assim, temos:

\( \tan(240°) = \frac{\sin(240°)}{\cos(240°)} \)

Sabemos que \(240°\) está no terceiro quadrante, onde o seno é negativo e o cosseno é negativo. Calculamos:

\( \sin(240°) = -\sin(60°) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( \cos(240°) = -\cos(60°) = -\frac{1}{2} \)

Substituindo na expressão da tangente:

\( \tan(240°) = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \)

Assim, a tangente do terceiro termo, que corresponde a \(\tan\left(\frac{4\pi}{3}\right)\), é de fato \(\sqrt{3}\).

Gabarito: LETRA C.