Considere a sequência de números complexos: (i, i100, i3, i200, i5, i300, i7, ...) Se ak representa o k−ésimo termo dessa sequência, então a123 − a250 + (a317)2 vale

Gabarito

A

Comentário do professor

Para resolver a questão, vamos analisar a sequência de números complexos dada:

(i, i¹⁰⁰, i³, i²⁰⁰, i⁵, i³⁰⁰, i⁷, ...)

Observamos que os termos dessa sequência são todos potências da unidade imaginária \( i \). A unidade imaginária \( i \) possui um comportamento cíclico quando elevada a potências inteiras:

\( i^1 = i \)

\( i^2 = -1 \)

\( i^3 = -i \)

\( i^4 = 1 \)

\( i^5 = i \)

Após \( i^4 \), o ciclo se repete: \( i^5 = i, i^6 = -1, i^7 = -i, \) e assim por diante.

Agora vamos identificar os termos solicitados na questão:

Para \( a_{123} \), podemos determinar \( 123 \mod 4 \) para saber a posição no ciclo de \( i \):

\( 123 \mod 4 = 3 \), logo \( a_{123} = i^3 = -i \).

Para \( a_{250} \), fazemos o mesmo:

\( 250 \mod 4 = 2 \), portanto \( a_{250} = i^2 = -1 \).

Para \( a_{317} \), mais uma vez:

\( 317 \mod 4 = 1 \), então \( a_{317} = i^1 = i \).

Agora substituímos na expressão dada na questão:

\( a_{123} - a_{250} + (a_{317})^2 \)

Substituindo:

\( (-i) - (-1) + (i)^2 \)

= \( -i + 1 - 1 \) (já que \( (i)^2 = -1 \))

= \( -i \)

Portanto, a expressão resulta em \( -i \), que é exatamente a alternativa correta. Assim, a alternativa correta é \( -i \).