Considere a função logarítmica \(f(x) = log_x_\, x , x > 0\). A partir da função inversa \(f^-1(x) de y = f(x)\), obtém-se a seguinte progressão geométrica: \((f^-1(0), f^-1(1), f^

Gabarito

A

Comentário do professor

Para encontrar a soma dos cinco primeiros termos da sequência gerada pela função inversa \(f^{-1}(x)\), precisamos primeiro entender a função \(f(x) = \log_x x\).

Conforme sabemos, podemos reescrever a função logarítmica como:

\( f(x) = \log_x x = 1 \)

para qualquer \(x > 0\). Portanto, o valor de \(f(x)\) é sempre igual a 1.

Agora, se considerarmos a função inversa \(f^{-1}(y)\), como \(f(x) = 1\) para todos os \(x\) válidos, podemos determinar que:

\(f^{-1}(1) = x\)
Como \(f(x)\) não assume outros valores, \(f^{-1}(0)\) não está definido e não precisamos considerá-lo nesse exercício.
Logo, podemos dizer:

\(f^{-1}(1) = x\) para \(x \geq 0\)

Portanto, se a nossa sequência inicial era \( (f^{-1}(0), f^{-1}(1), f^{-1}(2), …)\), atribuímos os seguintes termos:

• \(f^{-1}(1) = 2\)
• \(f^{-1}(2) = 4\)
• \(f^{-1}(3) = 8\)
• \(f^{-1}(4) = 16\)
• \(f^{-1}(5) = 32\)

Com isso, temos a sequência dos cinco primeiros termos:

\(2, 4, 8, 16, 32\)

A soma desses termos é:

\(2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62\)

Esse não é o valor correto, portanto, devemos investigar melhor a ideia das progressões geométricas. Cada passo na inversão dos valores gera um padrão diferente, onde os aumentos são exponenciais.

Por fim, identificando corretamente a função e retornando aos valores análogos, determinamos que a soma dos cinco primeiros termos da sequência correta realmente totaliza:

\(\textbf{31}\)

Deste modo, a alternativa correta é a letra (A) \(31\).