Sabendo que os lados da figura formam uma progressão aritmética e que o perímetro da figura é 42, quais são os valores de x, y e z, respectivamente?

Gabarito

D

Comentário do professor

Na questão apresentada, precisamos compreender que os lados da figura formam uma progressão aritmética (PA). Isso significa que a diferença entre os lados é constante.

Temos três lados que, de acordo com a questão, denominamos como \(x\), \(y\) e \(z\). Dado que a soma dos lados (ou seja, o perímetro) é 42, podemos expressar esta relação da seguinte forma:

\(x + y + z = 42\)

Como estão em progressão aritmética, podemos relacionar \(y\) e \(z\) com \(x\) da seguinte maneira:

• \(y = x + d\)
• \(z = y + d = x + 2d\)

Substituindo \(y\) e \(z\) na equação do perímetro:

\(x + (x + d) + (x + 2d) = 42\)

Isso simplifica para:

\(3x + 3d = 42\)

Dividindo toda a equação por 3, obtemos:

\(x + d = 14\)

Portanto, se isolarmos \(d\), temos:

\(d = 14 - x\)

Agora, substituindo o valor de \(d\) nas expressões de \(y\) e \(z\):

• \(y = x + (14 - x) = 14\)
• \(z = 14 + (14 - x) = 28 - x\)

Assim, podemos assegurar que a soma \(x + y + z = 42\) mantém-se verdadeira para os valores encontrados. Para determinar valores específicos, podemos considerar que, mantendo a PA e respeitando a condição do perímetro, ao substituirmos valores inteiros, encontramos a sequência 10, 14 e 18.

Portanto, os valores de \(x\), \(y\) e \(z\) são, respectivamente,:

10, 14, 18.