Em uma caixa há uma quantidade de livros menor que 100 unidades, que serão colocados nas prateleiras de uma estante, de modo que cada prateleira utilizada fique com a mesma quantid

Gabarito

A

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que indica que a quantidade mínima de livros a ser adicionada é 54.

Primeiramente, vamos entender a quantidade de livros que estão na caixa, representada por \( N \). Sabemos que \( N \) é um múltiplo de 15 e 18, pois é possível colocar esses números de livros em cada prateleira sem sobras.

Para encontrar \( N \), precisamos calcular o mínimo múltiplo comum (MMC) entre 15 e 18.

Fatorando os números, temos:

• \( 15 = 3 \times 5 \)
• \( 18 = 2 \times 3^2 \)

Para o cálculo do MMC, devemos considerar os fatores primos com os maiores expoentes:

Para o fator 2, o maior expoente é \( 1 \).
Para o fator 3, o maior expoente é \( 2 \).
Para o fator 5, o maior expoente é \( 1 \).

Portanto, o MMC será:

\( MMC = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 = 90 \).

Assim, a única opção para \( N \) que é menor que 100 é 90.

A próxima etapa é adicionar livros de forma que a nova quantidade total seja múltipla de 16 e 18. Vamos calcular o MMC entre esses dois números:

Fatorando:

• \( 16 = 2^4 \)
• \( 18 = 2^1 \times 3^2 \)

Os maiores expoentes que aparecem são:

Para o fator 2, o maior expoente é \( 4 \).
Para o fator 3, o maior expoente é \( 2 \).

Assim, o MMC entre 16 e 18 é:

\( MMC = 2^4 \times 3^2 = 144 \).

Por fim, para encontrar a quantidade de livros a serem adicionados, calculamos:

\( 144 - 90 = 54 \).

Dessa forma, concluímos que a quantidade mínima de livros a ser adicionada é, de fato, 54.