Ontem, eu e meu filho fizemos aniversário, e hoje a razão entre nossas idades é \(\large{1 \over 2}\). Se, há exatos 12 anos, a razão entre a idade dele e a minha idade era \(\larg

Gabarito

D

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta que indica que a idade do pai, no momento em que seu filho nasceu, era de 24 anos.

Primeiramente, vamos definir as idades atuais do pai e do filho. Se hoje a razão entre suas idades é \( \frac{1}{2} \), podemos afirmar que se o pai tem \( P \) anos, então o filho possui \( F \) anos e a relação é a seguinte:

\( \frac{F}{P} = \frac{1}{2} \)
ou seja, \( F = \frac{1}{2}P \).

Além disso, sabemos que há 12 anos, a razão entre as idades era \( \frac{1}{3} \). Portanto, podemos escrever essa relação como:

\( \frac{F - 12}{P - 12} = \frac{1}{3} \)
que se transforma em \( 3(F - 12) = P - 12. \)

Substituindo a expressão de \( F \) na equação, temos:

\( 3\left(\frac{1}{2}P - 12\right) = P - 12. \)

Desenvolvendo essa equação, encontramos:

\( \frac{3}{2}P - 36 = P - 12. \)
Assim, rearranjamos para encontrar \( P \):

\( \frac{3}{2}P - P = 36 - 12, \)
o que resulta em \( \frac{1}{2}P = 24. \)
Portanto, \( P = 48 \).

Agora, sabendo que a idade do pai atualmente é 48 anos, podemos descobrir a idade do filho:

\( F = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24. \)

Como o pai tinha 48 anos hoje, se completou 12 anos, quando seu filho nasceu, o pai tinha:

\( 48 - 24 = 24 \) anos quando seu filho foi born. Portanto, a alternativa correta é de fato 24 anos.