Em uma modalidade esportiva, o torneio é realizado com partidas de cada participante jogando contra todos os outros de uma única vez. No torneio de 2023, foram realizadas ao todo 1

Gabarito

B

Comentário do professor

Vamos considerar a alternativa correta que indica que o número de participantes acrescidos na competição em 2024 foi um número entre 5 e 8.

Para resolver essa questão, precisamos entender como o número total de partidas em um torneio com \( n \) participantes é calculado. O número de partidas em um formato de todos contra todos é dado pela fórmula:

\( C_{n, 2} = \frac{n(n-1)}{2} \)

Em 2023, sabemos que foram disputadas 105 partidas. Assim, podemos montar a equação:

\( \frac{n(n-1)}{2} = 105 \)

Multiplicando ambos os lados por 2, obtemos:

\( n(n-1) = 210 \)

Resolvendo a equação quadrática:

\( n^2 - n - 210 = 0 \)

Usando a fórmula de Bhaskara, encontramos:

\( n = \frac{1 \pm \sqrt{841}}{2} \)

Isso nos dá \( n = 15 \) (considerando apenas a solução positiva, pois não podemos ter um número negativo de participantes).

Agora, em 2024, o número total de partidas subiu para 231 partidas. Usando a mesma fórmula novamente, temos:

\( \frac{m(m-1)}{2} = 231 \)

Multiplicando ambos os lados por 2, obtemos:

\( m(m-1) = 462 \)

Resolveremos a nova equação:

\( m^2 - m - 462 = 0 \)

Usando a fórmula de Bhaskara novamente, vamos encontrar:

\( m = \frac{1 \pm \sqrt{1849}}{2} \)

Isso resulta em \( m = 22 \) (também considerando apenas a solução positiva).

Portanto, o número de participantes em 2024 foi de 22, enquanto em 2023 foram 15. A diferença de participantes é:

\( 22 - 15 = 7 \)

Assim, podemos afirmar que o número de participantes acrescido na competição em 2024 foi um número entre 5 e 8, o que confirma a alternativa correta.