Juliana foi comprar um presente para sua mãe e ouviu a seguinte proposta de pagamento: o pagamento poderia ser feito em 3 parcelas. Ao decidir pela compra, Juliana já receberia um

\( 90\% \, \text{de} \, x_3 = 364,50 \)

Substituindo, temos:

\( 0,9 \cdot x_3 = 364,50 \)

Ao isolarmos \( x_3 \), encontramos:

\( x_3 = \frac{364,50}{0,9} \)

Calculando, temos:

\( x_3 = 405 \, \text{reais} \)

Isso significa que o valor total devido para a terceira parcela antes do desconto era de R$ 405,00.

Agora, esse valor de R$ 405,00 representa metade do saldo devedor da segunda parcela com o mesmo desconto de 10%. Portanto, podemos dizer:

\( 2 \times 405 = 810 \, \text{reais} \)

Este valor de R$ 810,00 é, então, \( 90\% \) do saldo devedor para a segunda parcela (\( x_2 \)). Assim, podemos escrever:

\( 0,9 \cdot x_2 = 810 \)

Isolando \( x_2 \), obtemos:

\( x_2 = \frac{810}{0,9} \)

Calculando, encontramos:

\( x_2 = 900 \, \text{reais} \)

Esse valor, \( R$ 900,00 \), corresponde a um terço do preço da etiqueta com o desconto de 10%. Como a primeira parcela foi paga no ato, podemos deduzir que este valor corresponde a:

\( \frac{2}{3} \cdot x_1 = 900 \)

Isolando \( x_1 \), temos:

\( x_1 = \frac{900 \times 3}{2} \)

Cálculo que resulta em:

\( x_1 = 1350 \, \text{reais} \)

Finalmente, esse valor de R$ 1350,00 corresponde a 90% do preço da etiqueta original (\( x \)). Portanto, podemos expressar isso como:

\( 0,9 \cdot x = 1350 \)

Isolando \( x \), encontramos o preço de etiqueta:

\( x = \frac{1350}{0,9} \)

O que resulta em:

\( x = 1500 \, \text{reais} \)

Assim, o preço de etiqueta do presente que Juliana comprou se encontra entre R$ 1.450,00 e R$ 1.550,00, confirmando que a alternativa correta é a C.