Questão FC213544
Em uma fábrica, há dois tanques, um no formato de um cilindro circular reto, com raio de base medindo R e altura medindo 2y, e outro no formato de um cone circular reto, com raio d
Geometria Espacial
CESGRANRIO · 2024
Em uma fábrica, há dois tanques, um no formato de um cilindro circular reto, com raio de base medindo R e altura medindo 2y, e outro no formato de um cone circular reto, com raio de base medindo 2R e altura medindo y, como indicado na Figura.
Considere que esses dois tanques estejam inicialmente vazios e despreze a espessura de suas superfícies. Sabe-se que uma torneira, de vazão constante, levou 2 h 24 min para encher completamente o tanque cilíndrico.
O tempo necessário e suficiente para que essa mesma torneira, com a mesma vazão, encha completamente o tanque cônico é de
- 1 h 24 min
- 1 h 36 min
- 1 h 54 min
- 2 h 24 min
- 3 h 36 min
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Gabarito
B
Comentário do professor
A alternativa correta é a letra B: 1 h 36 min.
Primeiro calculemos os volumes para comparar os tanques.
Volume do cilindro:
\(V_c=\pi R^2 \cdot (2y)=2\pi R^2 y\)
Volume do cone:
\(V_{co}=\dfrac{1}{3}\pi (2R)^2 \cdot y=\dfrac{1}{3}\pi \cdot 4R^2 \cdot y=\dfrac{4}{3}\pi R^2 y\)
Agora, compare os volumes:
\(\dfrac{V_{co}}{V_c}=\dfrac{\frac{4}{3}\pi R^2 y}{2\pi R^2 y}=\dfrac{4/3}{2}=\dfrac{2}{3}\)
Ou seja, o cone tem \(\tfrac{2}{3}\) do volume do cilindro.
Com vazão constante, o tempo é proporcional ao volume. O cilindro foi preenchido em 2 h 24 min = 144 min.
Tempo para encher o cone: \(144\cdot \dfrac{2}{3}=96\) minutos.
Convertendo: \(96\) min = \(60\) min + \(36\) min = 1 h 36 min.
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