Hoje a razão entre a idade de um homem e seu pai é \(\frac{2}{5}\) Daqui a X anos, essa mesma razão será \(\frac{2}{3}\) e a soma dessas idades será igual a 105 anos. Desse modo, é

Gabarito

A

Comentário do professor

Sejam h a idade do homem hoje e p a idade do pai hoje.

Da razão atual \( \dfrac{h}{p}=\dfrac{2}{5}\) segue que \(p=\dfrac{5h}{2}\).

Daqui a \(x\) anos teremos \(\dfrac{h+x}{p+x}=\dfrac{2}{3}\). Fazendo a multiplicação em cruz: \(3(h+x)=2(p+x)\), ou seja, \(3h+3x=2p+2x\).
Isolando \(x\): \(3h+x=2p\). Substituindo \(p=\dfrac{5h}{2}\) obtém-se \(3h+x=5h\), logo \(x=2h\).

A soma das idades daqui a \(x\) anos é \((h+x)+(p+x)=105\), portanto \(h+p+2x=105\).
Substituindo \(p=\dfrac{5h}{2}\) e \(x=2h\):

\(h+\dfrac{5h}{2}+2(2h)=105 \;\Rightarrow\; h+\dfrac{5h}{2}+4h=105\).

Somando os termos: \(h+\dfrac{5h}{2}+4h=\dfrac{15h}{2}=105\). Assim \(h=\dfrac{105\cdot 2}{15}=14\).

Logo \(p=\dfrac{5\cdot 14}{2}=35\). A diferença entre as idades hoje é \(35-14= \) 21 anos.