Uma empresa que promove festas recebeu 322 convidados em uma determinada ocasião. O salão dispunha de 15 mesas com 7 lugares e 25 mesas com 11 lugares. As 322 pessoas foram acomoda

Gabarito

D

Comentário do professor

Sejam y o número de mesas de 7 lugares e z o número de mesas de 11 lugares.

Como todas as mesas usadas ficaram com todos os lugares ocupados, temos a equação

\(7y+11z=322\).

Para encontrar inteiros y e z, analisamos a congruência módulo 11:

\(322\equiv 3 \pmod{11}\) (pois \(11\cdot29=319\) e \(322-319=3\)).

Logo \(7y\equiv 3 \pmod{11}\). Como o inverso de \(7\) módulo \(11\) é \(8\) (pois \(7\cdot8\equiv1\)), obtemos

\(y\equiv 8\cdot3\equiv24\equiv2 \pmod{11}\).

Assim, as soluções inteiras para y são da forma \(y=2+11k\). Como o salão dispõe de no máximo 15 mesas de 7 lugares, os possíveis valores são \(y=2\) ou \(y=13\).

Testando \(y=13\):

\(7\cdot13+11z=322 \Rightarrow 91+11z=322 \Rightarrow 11z=231 \Rightarrow z=21\).

Verificamos também as disponibilidades: \(y=13\leq15\) e \(z=21\leq25\), portanto é viável.

O total de mesas usadas é \(x=y+z=13+21= \)\34, portanto a alternativa correta é 34.