Sobre os lados de um triângulo ABC estão os pontos Q e R, de maneira que BCRQ é um trapézio de 112 cm2 de área, conforme mostra a figura. O lado BC do triângulo mede 20 cm, o lado

Gabarito

B

Comentário do professor

A alternativa correta é 63 cm².

Como \(BCRQ\) é um trapézio, os segmentos RQ e BC são paralelos.
Portanto, os triângulos \(AQR\) e \(ABC\) são semelhantes (têm dois ângulos correspondentes iguais).

A razão de semelhança entre os triângulos é dada pelos lados homólogos \(RQ\) e \(BC\):
\(r=\dfrac{RQ}{BC}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}=0{,}6\).

A razão entre as áreas é o quadrado da razão linear:
\(\dfrac{\text{Área}(AQR)}{\text{Área}(ABC)}=r^2=0{,}6^2=0{,}36=\dfrac{9}{25}.\)

Seja \(A_1\) a área de \(AQR\). A área total do triângulo \(ABC\) é \(A_1+112\) (pois o trapézio tem área 112).
Logo:
\(\dfrac{A_1}{A_1+112}=\dfrac{9}{25}.\)

Resolvendo a equação:
\(25A_1=9(A_1+112)\)
\(25A_1=9A_1+1008\)
\(16A_1=1008\)
\(A_1=\dfrac{1008}{16}=63.\)

Portanto, a área do triângulo \(AQR\) é 63 cm².