Em um triângulo ABC, o ponto M divide o lado AB em duas partes de mesma medida, e os pontos P e Q estão sobre os lados desse triângulo, de modo que MP = MQ = MA, conforme mostra a

Gabarito

D

Comentário do professor

Justificativa da alternativa correta (D — 41°):

1) Como M é ponto médio de AB, temos \(MA=MB\). Também é dado \(MP=MA\), logo \(MP=MB\). Assim, o triângulo PMB é isósceles com os lados iguais \(MP\) e \(MB\); os ângulos da base (em P e em B) são congruentes.

2) Observando a figura, o ângulo em P associado ao triângulo PMB mede \(30^\circ+14^\circ=44^\circ\). Como os ângulos da base são iguais, o ângulo em B também é \(44^\circ\). Então o terceiro ângulo do triângulo PMB é

\(180^\circ-44^\circ-44^\circ=92^\circ\).

3) Pela construção indicada na figura, a reta/ângulo externo complementar à soma \(24^\circ+14^\circ+92^\circ\) resulta em \(\alpha\) com valor

\(\alpha=180^\circ-(24^\circ+14^\circ+92^\circ)=50^\circ\).

4) Como \(MA=MQ\), o triângulo AQM é isósceles; se os ângulos da base valem \(\gamma\), na soma dos ângulos de AQM temos

\(50^\circ+2\gamma=180^\circ\ \Rightarrow\ \gamma=65^\circ\).

5) No triângulo ABC a soma dos ângulos internos é \(180^\circ\). Usando \(\gamma=65^\circ\) e os ângulos conhecidos \(30^\circ\) e \(44^\circ\):

\(65^\circ+\beta+30^\circ+44^\circ=180^\circ\ \Rightarrow\ \beta=180^\circ-139^\circ=41^\circ.\)

Portanto, \(\beta=41^\circ\) e a alternativa D está correta.