Questão FC215042
Agnaldo é o responsável pelo departamento logístico da prefeitura de certa cidade. Ele fará a encomenda de algumas caixas de papelão, todas de mesmo tamanho e em forma cúbica, para
Geometria Espacial
VUNESP · 2025
Agnaldo é o responsável pelo departamento logístico da prefeitura de certa cidade. Ele fará a encomenda de algumas caixas de papelão, todas de mesmo tamanho e em forma cúbica, para transporte das mercadorias da repartição. Para transportar essas caixas, ele usará uma caçamba cujo interior tem a forma de um paralelepípedo retângulo, com largura, altura e comprimento medindo, respectivamente, 150 cm, 180 cm e 540 cm. Se Agnaldo escolherá o tamanho das caixas de modo que sejam as maiores possíveis, mas que ao acomodá-las na caçamba, não fique sobrando nenhum espaço, é correto afirmar que cada caixa terá volume igual a
- 30.000 cm3.
- 3.000 cm3.
- 64.000 cm3.
- 27.000 cm3.
- 8.000 cm3.
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Gabarito
D
Comentário do professor
As caixas são cubos e devem preencher exatamente o paralelepípedo de dimensões 150 cm, 180 cm e 540 cm sem sobrar espaço.
Para isso, a aresta do cubo precisa ser um divisor comum dessas três medidas e, como queremos o maior cubo possível, a aresta será o máximo divisor comum (MDC) de 150, 180 e 540.
Decompondo em fatores primos:
150 = \(2 \times 3 \times 5^2\)
180 = \(2^2 \times 3^2 \times 5\)
540 = \(2^2 \times 3^3 \times 5\)
Tomando os fatores comuns com menor expoente: \(2^1\), \(3^1\), \(5^1\). Assim,
\(\mathrm{MDC}(150,180,540)=2\cdot3\cdot5=30\) cm (aresta do cubo).
O volume de cada caixa cúbica é \(30^3=27\,000\ \text{cm}^3\).
Portanto, alternativa correta (D): 27.000 cm3.
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