Um paralelepípedo reto-retângulo tem 550 cm2 de área total e sua face de maior área tem 54 cm de perímetro. Nesse paralelepípedo, a aresta que não é a de maior medida excede em 2 c

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Denotemos as arestas por x, y e z, com x < y < z (logo, z é a maior).

Da área total temos \(2(xy+xz+yz)=550\), portanto

\(xy+xz+yz=275\).

Da informação sobre o perímetro da face de maior área (que é a face com arestas y e z) vem

\(2(y+z)=54 \Rightarrow y+z=27 \Rightarrow z=27-y.\)

Como a aresta que não é a maior excede em 2 cm uma das outras, isso significa que a aresta intermediária y excede a menor x em 2 cm:

\(y=x+2 \Rightarrow x=y-2.\)

Substituindo \(x=y-2\) e \(z=27-y\) em \(xy+xz+yz=275\):

\((y-2)y + (y-2)(27-y) + y(27-y) = 275.\)

Ao desenvolver e simplificar obtém-se a equação quadrática

\(y^{2}-54y+329=0.\)

O discriminante é \(\Delta=54^{2}-4\cdot329=1600\), então

\(y=\dfrac{54\pm40}{2}\), dando \(y=47\) ou \(y=7\).

Como \(y=47\) tornaria \(z=27-y\) negativo, rejeitamos essa raiz. Assim \(y=7\), e

\(x=y-2=5\) e \(z=27-y=20\).

O volume é \(V=xyz=5\cdot7\cdot20=700\ \text{cm}^3\).

Portanto, a alternativa correta é: 700 cm³.