Considerando A uma matriz 2x3 composta somente de números reais e A’ a matriz transposta de A, é correto afirmar que

Gabarito

B

Comentário do professor

Alternativa correta (B): os autovalores da matriz A'A são todos não negativos.

Prova direta e didática:
Para qualquer vetor coluna \(x\) (não necessariamente autovetor), temos

\(x^{T}(A^{T}A)x=(Ax)^{T}(Ax)=\|Ax\|^{2}\ge 0\).

Isso mostra que \(A^{T}A\) é uma matriz positiva semidefinida, ou seja, seu produto quadrático é sempre não negativo.

Agora, seja \(v\neq 0\) um autovetor de \(A^{T}A\) associado ao autovalor \(\lambda\). Então

\(v^{T}(A^{T}A)v=\lambda v^{T}v\).

Como o lado esquerdo é \(\|Av\|^{2}\ge 0\) e \(v^{T}v=\|v\|^{2}>0\), segue

\(\lambda=\dfrac{\|Av\|^{2}}{\|v\|^{2}}\ge 0\).

Portanto, todos os autovalores de \(A^{T}A\) são não negativos. (Intuitivamente, são os quadrados dos valores singulares de \(A\).)