O retângulo EFGH mostrado na figura possui dimensões m e n e foi dobrado, de modo que o vértice G foi colocado sobre o vértice F. O ponto J é o pé da altura do triângulo FXY, relat

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Considere ao longo de \(EF\) duas partes \(a\) e \(b\) tais que \(EF=m\) e \(m=a+b\). Pelas quatro triângulos congruentes, o trapézio \(EFYX\) é composto por três cópias do triângulo \(EFX\); portanto a área de \(EFYX\) é \(3\) vezes a área de \(EFX\).

Escrevendo áreas: \(A_{EFYX}=\dfrac{(a+b)\cdot n}{2}\) e \(A_{EFX}=\dfrac{a\cdot n}{2}\). Igualando \(A_{EFYX}=3A_{EFX}\) e usando \(a+b=m\) obtém-se \(m\cdot n=3a\cdot n\), daí \(a=\dfrac m3\).

Como \(b=m-a\), segue \(b=\dfrac{2m}{3}\). Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo \(EFX\): \(b^2=a^2+n^2\).

Substituindo \(a\) e \(b\): \(\left(\dfrac{2m}{3}\right)^2=\left(\dfrac{m}{3}\right)^2+n^2\), que leva a \(n^2=\dfrac{m^2}{3}\).

Logo \(\left(\dfrac{m}{n}\right)^2=3\) e, por consequência, \(\dfrac{m}{n}=\sqrt3\).