Questão FC235681
Quando dispostas sobre o mapa do estado de São Paulo, as localizações de três distribuidoras de gás ocupam os vértices de um triângulo equilátero, cujos lados medem 120 km. Cada di
Geometria Plana
CESGRANRIO · 2013
Quando dispostas sobre o mapa do estado de São Paulo, as localizações de três distribuidoras de gás ocupam os vértices de um triângulo equilátero, cujos lados medem 120 km.
Cada distribuidora consegue abastecer qualquer ponto que dela esteja distante até 60 km. Pontos mais distantes não são abastecidos.
A área, em quilômetros quadrados, da região do triângulo considerado que não consegue ser abastecida por qualquer uma das três distribuidoras é
- \(3600 \sqrt{3}\)
- \(1800 \pi\)
- \(3600 \cdot (\pi - \sqrt{3})\)
- \(600 \cdot (6\sqrt{3} - \pi)\)
- \(1800 \cdot (2\sqrt{3} - \pi)\)
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
A região não abastecida é o interior do triângulo equilátero menos as áreas alcançadas pelos três discos de raio 60 km centrados nos vértices.
A área do triângulo de lado 120 é \( \dfrac{l^2\sqrt3}{4} = \dfrac{120^2\sqrt3}{4} = 3600\sqrt3\).
Cada distribuidora alcança um setor circular de raio 60 e ângulo \(60^\circ\) (porque os ângulos do triângulo equilátero são \(60^\circ\)). A soma dos três setores é \(3\cdot\dfrac{60}{360}\pi r^2 = \dfrac{1}{2}\pi r^2\), ou seja, um semicírculo de raio 60.
A área desse semicírculo é \( \dfrac{\pi(60)^2}{2} = 1800\pi\).
Portanto, a área não abastecida vale \(3600\sqrt3 - 1800\pi = 1800(2\sqrt3 - \pi)\), que é a expressão correta.
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