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Questão FC235688

Qual é a área da região R?

Geometria Plana

CESGRANRIO · 2012

A figura abaixo destaca a região R do plano cartesiano, que é limitada pela parte positiva do eixo das abscissas, pelo gráfico da função \(f(x) = \sqrt 3 . x\), e pelas circunferências de raios 1 e 3, que possuem centros sobre a origem do sistema cartesiano.

 

Qual é a área da região R?

  1. \(\pi u . a.\)
  2. \(8 \pi u.a.\)
  3. \({ \large 4 \pi \over 3} u.a.\)
  4. \({ \large 8 \pi \over 3} u.a.\)
  5. \({ \large 8 \sqrt 3 \over 3} \pi u.a.\)
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

A reta dada é \(y=\sqrt3\,x\). Seu coeficiente angular é \(m=\sqrt3\), logo \(\tan\theta=\sqrt3\) e o ângulo entre a reta e o eixo \(x\) positivo é \(\theta=60^\circ\) (ou \(\pi/3\) rad).

A região \(R\) está delimitada pelo eixo \(x\) positivo, pela reta e pelas circunferências de centros na origem e raios \(1\) e \(3\). Assim, \(R\) é a diferença entre dois setores circulares de mesma amplitude \(\theta=60^\circ\): um de raio \(3\) menos outro de raio \(1\).

Usando a fórmula do setor em graus, \(A_{\text{setor}}=\dfrac{\pi r^2\theta}{360^\circ}\), obtemos

\(A_R=\dfrac{\pi\cdot 3^2\cdot 60^\circ}{360^\circ}-\dfrac{\pi\cdot 1^2\cdot 60^\circ}{360^\circ}\).

Simplificando: \(A_R=\dfrac{9\pi\cdot 60-1\pi\cdot 60}{360}=\dfrac{8\pi\cdot 60}{360}=\dfrac{8\pi}{6}=\dfrac{4\pi}{3}\) unidades de área.

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