Sabendo-se que o perímetro da canaleta é igual à largura da chapa, qual é o ângulo central da canaleta, \(\alpha\), tal que esta tenha a maior capacidade possível?

Gabarito

D

Comentário do professor

A largura da chapa fixa o comprimento do arco: seja \(s\) esse comprimento, então \(s=r\alpha\) (com \(\alpha\) em radianos). A capacidade (área hachurada) é a área do segmento circular: \(A=\tfrac{1}{2}r^2(\alpha-\sin\alpha)\).

Substituindo \(r=s/\alpha\) obtemos \(A=\dfrac{s^2}{2}\cdot\dfrac{\alpha-\sin\alpha}{\alpha^2}\). Assim, com \(s\) fixo, maximizar \(A\) equivale a maximizar a função \(f(\alpha)=\dfrac{\alpha-\sin\alpha}{\alpha^2}\).

Derivando e igualando a zero chega-se à condição crítica \(2\sin\alpha=\alpha(1+\cos\alpha)\). Verifica-se que \(\alpha=\pi\) (180º) satisfaz essa igualdade.

Além disso, comparando valores ou analisando o sinal da derivada mostra-se que esse ponto é de máximo. Portanto, a canaleta tem maior capacidade quando \(\boldsymbol{\alpha=180^\circ}\).