Na figura acima, a estrela tem seis vértices sobre a circunferência. Esses vértices dividem a circunferência em seis partes iguais. Se a área do triângulo sombreado mede \(\sqrt3\)

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Como os seis vértices estão igualmente espaçados, a estrela é formada por dois triângulos equiláteros inscritos na circunferência. Para um equilátero inscrito, o raio satisfaz \(R=\tfrac{2h}{3}\), onde \(h\) é a altura do triângulo maior.

O triângulo hachurado é similar ao maior e sua altura vale \(h_h=\tfrac{h}{3}\) (a mediana/centro divide a altura em razão 2:1). Logo \(h_h=\tfrac{h}{3}=\tfrac{R}{2}\).

A altura do triângulo hachurado também é \(h_h=\dfrac{l_h\sqrt3}{2}\). Igualando, obtém-se \(\dfrac{l_h\sqrt3}{2}=\dfrac{R}{2}\Rightarrow l_h\sqrt3=R.\)

Sabe-se que a área do triângulo hachurado é \(\sqrt3\), então \(\dfrac{l_h^2\sqrt3}{4}=\sqrt3\Rightarrow l_h^2=4\Rightarrow l_h=2\). Assim \(R=2\sqrt3\).

Assim a área do círculo é \(A=\pi R^2=\pi(2\sqrt3)^2=12\pi\).