Na figura acima, a estrela tem seis vértices sobre a circunferência. Esses vértices dividem a circunferência em seis partes iguais. Se a área do triângulo sombreado mede \(\sqrt3\)

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A circunferência foi dividida em 6 arcos iguais, logo a estrela resulta de dois triângulos equiláteros inscritos. O triângulo sombreado é equilátero de lado \(l_h\) e área \(\sqrt3\).

Num triângulo equilátero de altura \(h\), o raio da circunferência circunscrita é \(R=\dfrac{2h}{3}\). Observando a disposição da estrela, a altura do triângulo sombreado vale \(h_h=\dfrac h3\), portanto \(h_h=\dfrac R2\).

Como \(h_h=\dfrac{l_h\sqrt3}{2}\), segue \(\dfrac{l_h\sqrt3}{2}=\dfrac R2\Rightarrow l_h\sqrt3=R\). Da área \(\dfrac{l_h^2\sqrt3}{4}=\sqrt3\) obtemos \(l_h^2=4\) e \(l_h=2\). Assim \(R=2\sqrt3\) e a área do círculo é \( \pi R^2=\pi(2\sqrt3)^2=12\pi\).