O triângulo DEF está circunscrito a uma circunferência, e os pontos de tangência (P, A e Z) estão dispostos da seguinte forma: \(\text{P} \in \overline{\text{DE}}; \text{ A} \in \o

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Pela propriedade das tangentes a uma circunferência, segmentos a partir de um mesmo vértice são congruentes. Assim, de D: \(DZ=DP=3\); de F: \(FZ=FA=5\); de E: \(EA=EP=5\).

Com isso, os comprimentos dos lados do triângulo são: \(DF=DZ+ZF=3+5=8\), \(DE=DP+PE=3+5=8\) e \(EF=EA+AF=5+5=10\). Ou seja, o triângulo é isósceles com lados iguais \(8,8\) e base \(10\).

Traçando a altura do vértice D sobre a base \(EF\), ela divide a base ao meio (\(5\) e \(5\)). Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado: \(8^2=h^2+5^2\), logo \(h=\sqrt{64-25}=\sqrt{39}\).

A área de \(DEF\) é \(\dfrac{base\times altura}{2}=\dfrac{10\cdot\sqrt{39}}{2}=5\sqrt{39}\ \text{cm}^2\).