Na figura, os pontos M, N e P são médios dos lados do triângulo ABC, de área S. Os segmentos AP e MN se interceptam no ponto Q. A área do quadrilátero MQPB corresponde a

Gabarito

B

Comentário do professor

Como M e N são pontos médios, o segmento \(MN\) é paralelo a \(BC\) e vale \(\tfrac{BC}{2}\). Logo os triângulos \(ABC\) e \(AMN\) são semelhantes com razão linear \(2\), portanto a área de \(AMN\) é \(A_{AMN}=\dfrac{S}{4}\).

Assim a área do trapézio \(MNCB\) é \(A_{MNCB}=S-A_{AMN}=S-\dfrac{S}{4}=\dfrac{3S}{4}\).

O segmento \(AP\) é mediana de \(BC\) e, como \(MN\parallel BC\), ele intercepta \(MN\) em seu ponto médio \(Q\). Como \(Q\) e \(P\) são pontos médios das bases do trapézio \(MNCB\), o segmento \(QP\) divide esse trapézio em duas regiões de igual área.

Portanto \(A_{MQPB}=\dfrac{1}{2}A_{MNCB}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3S}{4}=\dfrac{3S}{8}\).