Se M é ponto médio de AC, e a área pintada mede (1 + \(\pi\)) cm2, quanto mede, em cm2, a área do retângulo?

Gabarito

A

Comentário do professor

Como o círculo tangencia três lados do retângulo, a altura corresponde ao diâmetro, isto é \(h=2r\). Pelas igualdades de segmentos determinadas pelas tangências, a base vale \(b=4r\).

Assim, a área do retângulo é \(A_r=b\cdot h=4r\cdot 2r=8r^2\).

A área pintada é composta por um quarto do círculo mais um triângulo retângulo formado pela interseção: \(A_P=\frac{\pi r^2}{4}+\) área do triângulo. Esse triângulo tem catetos \(r\) e \(r/2\) (por simetrias com \(M\) ponto médio), logo sua área é \(\frac{1}{2}\cdot r\cdot\frac{r}{2}=\frac{r^2}{4}\).

Portanto \(A_P=\frac{\pi r^2}{4}+\frac{r^2}{4}=\frac{r^2}{4}(\pi+1)\). Igualando a \(1+\pi\) obtém-se \(\frac{r^2}{4}=1\), daí \(r^2=4\).

Logo \(A_r=8r^2=8\cdot 4=32\ \text{cm}^2\).