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Questão FC235700

A figura mostra um círculo e três segmentos de reta, sobre os quais estão dispostos cinco pontos: M, N, P, Q e R. Assumindo que MN é tangente à circunferência, MN \(\perp\) NP, \(\

Geometria Plana

CESGRANRIO · 2011

A figura mostra um círculo e três segmentos de reta, sobre os quais estão dispostos cinco pontos: M, N, P, Q e R.

 

 

Assumindo que MN é tangente à circunferência, MN \(\perp\) NP, \(\overline{\text{NP}}\) = 8 cm, \(\overline{\text{MQ}}\) = 18 cm e \(\overline{\text{RQ}}\) = 10 cm, então, a área do triângulo MNP, dada em cm2, é igual a

  1. 32
  2. 40
  3. 48
  4. 96
  5. 16\(\sqrt{5}\)
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Como MN é uma tangente e o segmento MQ corta a circunferência em R e Q, aplicamos a relação de potência: \(MN^2=MQ\cdot MR\).

Primeiro calculamos \(MR\) a partir de \(MQ\) e \(RQ\): \(MR=MQ-RQ=18-10=8\) cm.

Substituindo na potência, \(MN^2=18\cdot8=144\), logo \(MN=\sqrt{144}=12\) cm.

Como \(MN\perp NP\), o triângulo MNP é retângulo em N e sua área é dada por \(A=\dfrac{MN\cdot NP}{2}\).

Portanto, \(A=\dfrac{12\cdot8}{2}=\dfrac{96}{2}=48\) cm\(^2\), confirmando a alternativa correta.

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