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Questão FC235706

Em um prisma triangular regular reto inscreve-se um cilindro reto de modo que a base do cilindro seja um círculo inscrito na base do prisma. Se a área lateral do prisma é X, e a ár

Geometria Espacial

CESGRANRIO · 2018

Em um prisma triangular regular reto inscreve-se um cilindro reto de modo que a base do cilindro seja um círculo inscrito na base do prisma.


Se a área lateral do prisma é X, e a área lateral do cilindro é Y, a razão \({\large Y \over X}\) é igual a

  1. \({\large \pi \sqrt{3} \over 6}\)

  2. \({\large \pi \sqrt{3} \over 3}\)

  3. \({\large \pi \sqrt{3} \over 9}\)

  4. \({\large \pi \over 3}\)

  5. \({\large 9 \pi \over \sqrt{3}}\)

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Gabarito

Certo

Comentário do professor

No prisma triangular regular (triângulo equilátero) a relação entre o raio inscrito \(r\) e o lado \(L\) é \(r=\dfrac{L\sqrt{3}}{6}\), logo \(L=2\sqrt{3}\,r\).

A área lateral do cilindro vale \(Y=2\pi r h\), onde \(h\) é a altura comum.

A área lateral do prisma é o perímetro da base vezes a altura: \(X=3L\,h\).

A razão fica \(\dfrac{Y}{X}=\dfrac{2\pi r h}{3L h}=\dfrac{2\pi r}{3L}\). Substituindo \(L=2\sqrt{3}\,r\) obtemos \(\dfrac{2\pi r}{3\cdot 2\sqrt{3}\,r}=\dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}.\)

Multiplicando numerador e denominador por \(\sqrt{3}\) resulta \(\dfrac{\pi\sqrt{3}}{9}\), que é a alternativa correta.

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