Qual o volume desse sólido, em m³?

Gabarito

D

Comentário do professor

Como \(PM\) e \(MN\) são congruentes e perpendiculares, o triângulo \(PMN\) é retângulo isósceles com hipotenusa \(PN=2\). Aplicando Pitágoras: \(2^2=a^2+a^2\Rightarrow a=\sqrt2\).

Os tetraedros cortados têm base um triângulo retângulo cujos catetos medem \(1\) e \(1\) (metade da projeção obtida a partir de \(a=\sqrt2\)) e altura igual a \(2\). Então, o volume de cada pirâmide é \( \displaystyle V_{tet}=\frac{A_{base}\times h}{3}=\frac{\frac{1\cdot1}{2}\times2}{3}=\frac{1}{3}\,m^3.\)

O prisma original tem seção trapezoidal de bases \(2\) e \(1\) e altura \(2\), logo sua área é \( \frac{(2+1)\cdot2}{2}=3\) e o volume é \(3\cdot2=6\,m^3\).

Subtraindo os dois tetraedros: \(6-2\cdot\frac{1}{3}=6-\frac{2}{3}=\frac{16}{3}\,m^3\). Assim, o volume do sólido é \(\displaystyle\frac{16}{3}\).