A figura abaixo representa uma peça industrial com a forma de um octaedro regular, cujas arestas medem 2 metros. Quando representado em m3, o volume dessa peça é

Gabarito

D

Comentário do professor

Para um octaedro regular de aresta \(a\) podemos vê‑lo como duas pirâmides quadrangulares congruentes baseadas em um quadrado de lado \(a\) e altura \(h\).

Colocando vértices em \((\pm a/\sqrt2,0,0),(0,\pm a/\sqrt2,0),(0,0,\pm a/\sqrt2)\), a altura de cada pirâmide é \(h=a/\sqrt2\) e a área da base é \(a^2\).

Logo, o volume de uma pirâmide é \(\tfrac{1}{3}a^2\cdot h=\tfrac{1}{3}a^2\cdot\tfrac{a}{\sqrt2}=\tfrac{a^3}{3\sqrt2}\). Como há duas pirâmides,

\(V=2\cdot\tfrac{a^3}{3\sqrt2}=\tfrac{a^3\sqrt2}{3}.\)

Substituindo \(a=2\): \(V=\dfrac{2^3\sqrt2}{3}=\dfrac{8\sqrt2}{3}\,\mathrm{m}^3\).