Uma indústria deseja fabricar um tambor fechado na forma de um cilindro circular reto. Se a área total da superfície do tambor é fixada em 36\(\pi\) dm2, o volume máximo que esse t

Gabarito

A

Comentário do professor

A indústria fixa a área total do cilindro em \(36\pi\). Para um cilindro, \(A_t=2\pi r^2+2\pi r h\).

Isolando \(h\): \(36\pi=2\pi(r^2+ r h)\) ⇒ \(18=r^2+r h\) ⇒ \(h=\dfrac{18-r^2}{r}\).

O volume é \(V=\pi r^2 h\). Substituindo: \(V=\pi r^2\cdot\dfrac{18-r^2}{r}=\pi r(18-r^2)=18\pi r-\pi r^3\).

Para maximizar, calcule a derivada: \(V'(r)=18\pi-3\pi r^2\). Igualando a zero: \(18\pi-3\pi r^2=0\) ⇒ \(r^2=6\) ⇒ \(r=\sqrt6\) (tomamos \(r>0\)).

Verificando ser máximo: \(V''(r)=-6\pi r<0\) em \(r=\sqrt6\), logo é máximo.

Substituindo no volume: \(V=\pi\sqrt6(18-6)=12\pi\sqrt6\). Portanto o volume máximo é 12 π √6 dm³.