A figura acima ilustra um círculo de centro em O e raio igual a 1 cm, inscrito em um semicírculo. P é o ponto médio do segmento \(\overline{\rm AB}\). O círculo tangencia o semicír

Gabarito

A

Comentário do professor

Ao girar a figura em torno do eixo que passa por P, O e Q obtém-se uma esfera de raio \(1\) e uma semiesfera que a envolve.

O volume pedido é a diferença entre o volume da semiesfera e o da esfera interna: \(V=V_{se}-V_e\).

A esfera tem raio \(r=1\), logo \(V_e=\dfrac{4}{3}\pi r^3=\dfrac{4}{3}\pi\).

Como a esfera está inscrita na semiesfera, o diâmetro da esfera vale o raio da semiesfera, isto é, \(R=2\). O volume da semiesfera é metade do volume de uma esfera de raio \(2\): \(V_{se}=\tfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\pi\cdot2^3=\dfrac{16}{3}\pi\).

Fazendo a diferença: \(V=\dfrac{16}{3}\pi-\dfrac{4}{3}\pi=\dfrac{12}{3}\pi=4\pi\). Portanto, o volume é \(4\pi\ \text{cm}^3\).