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Questão FC235785

Um grupo de engenheiros e arquitetos está elaborando um projeto de construção de um galpão. Duas características devem ser obedecidas pelo projeto: 1. O galpão deve possuir a forma

Geometria Espacial

CESGRANRIO · 2010

Um grupo de engenheiros e arquitetos está elaborando um projeto de construção de um galpão. Duas características devem ser obedecidas pelo projeto:

 

1. O galpão deve possuir a forma de um paralelepípedo cujas dimensões, quando dadas em metros, são três números inteiros consecutivos.

2. O volume do galpão deve ser o maior possível, mas obrigatoriamente menor do que 2800m3 .

 

Se as dimensões forem dadas, em metros, e representadas por \(n-1\), \(n\) e \(n+1\), é necessário e suficiente que os engenheiros encontrem

  1. um número inteiro \(n\) tal que \(n^3+3n^2+2n < 2800\) .
  2. o maior número inteiro \(n\) tal que \(n^3-n < 2800\).
  3. um número inteiro \(n\) tal que \(n^3-n=2800\).
  4. o maior inteiro \(n\) tal que \(n^3+3n^2+2n=2800\) .
  5. o maior valor \(n\) para que \(n.(n+1).(n+2)>2800\).
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Gabarito

B

Comentário do professor

As dimensões do galpão, em metros, são três inteiros consecutivos: \(n-1,\;n,\;n+1\). O volume é o produto dessas dimensões, logo \(V=(n-1)\cdot n\cdot (n+1)\).

Desenvolvendo o produto obtemos \(V=n(n^2-1)=n^3-n\). A condição do enunciado exige que o galpão seja o maior possível, porém com volume menor que \(2800\ \text{m}^3\). Assim devemos ter

\(n^3-n<2800\).

Como \(n\) é inteiro, a solução é procurar o maior número inteiro \(n\) que satisfaça essa desigualdade. Portanto, é necessário e suficiente encontrar o maior \(n\) tal que \(n^3-n<2800\).

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