No tetraedro regular, o pé da altura relativa a uma determinada face está sobre o baricentro desta mesma face. Considerando esta informação, quanto vale a altura h de um tetraedro

Gabarito

D

Comentário do professor

Num tetraedro regular de aresta \(a\) cada face é um triângulo equilátero com altura \(H=\dfrac{a\sqrt3}{2}\).

O pé da altura do tetraedro cai no baricentro da face. A distância do vértice dessa face ao baricentro vale \(AG=\dfrac{2}{3}H=\dfrac{a\sqrt3}{3}\).

Considere o triângulo reto formado pelo vértice da face (A), o ápice do tetraedro (D) e o baricentro (G): \(DA=a\) é a hipotenusa, \(DG=h\) é a altura do tetraedro e \(AG=\dfrac{a\sqrt3}{3}\) é o cateto.

Pelo Teorema de Pitágoras: \(a^2=h^2+\left(\dfrac{a\sqrt3}{3}\right)^2\). Assim \(h^2=a^2-\dfrac{a^2}{3}=\dfrac{2a^2}{3}\), logo \(h=a\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{a\sqrt6}{3}\).