Considere em R3 a reta r0 passando pelos pontos (0,0,0) e (1,1,1) e a reta r1 passando pelos pontos (1,0,0) e (1,1,0). Seja d a distância entre as retas r0 e r1, ou seja, d é a dis

Gabarito

B

Comentário do professor

Calcule os vetores diretores: \( \vec u=(1,1,1)\) e \(\vec v=(0,1,0)\). As retas têm equações paramétricas \(r_0:(t,t,t)\) e \(r_1:(1,s,0)\).

Considere \(P_0=(t,t,t)\in r_0\) e \(P_1=(1,s,0)\in r_1\). O vetor entre eles é \(P_0P_1=(1-t,s-t,-t)\).

Para que a distância seja mínima, \(P_0P_1\) deve ser ortogonal a ambos os vetores diretores: \((1-t,s-t,-t)\cdot\vec v=0\) e \((1-t,s-t,-t)\cdot\vec u=0\).

Do primeiro produto vem \(s-t=0\Rightarrow s=t\). Substituindo no segundo: \(1-t+t-2t=1-2t=0\Rightarrow t=\tfrac12\) (portanto \(s=\tfrac12\)).

Assim \(P_0P_1=(\tfrac12,0,-\tfrac12)\) e seu módulo é \(|P_0P_1|=\sqrt{(\tfrac12)^2+0^2+(-\tfrac12)^2}=\tfrac{\sqrt2}{2}\).

Logo, a distância mínima entre as retas é \(\dfrac{\sqrt2}{2}\).