Questão FC235792
Qual é o ponto da reta 2x + y = 3 que está mais próximo do ponto P (1,3)?
Geometria Analítica
CESGRANRIO · 2018
Um sistema cartesiano de coordenadas (xy) foi disposto sobre um grande terreno plano. Nesse terreno, passam os trilhos da rede ferroviária, que foram modelados pela reta cuja equação é dada por 2x + y = 3. O ponto P(1,3) será utilizado como base de realização de uma importante medição, o que exigirá dos engenheiros a determinação de um ponto, sobre os trilhos, que esteja mais próximo do ponto P.
Qual é o ponto da reta 2x + y = 3 que está mais próximo do ponto P (1,3)?
- \(\begin{pmatrix} { \large 1 \over 5} , { \large 13 \over 5} \end{pmatrix}\)
- \(\begin{pmatrix} { \large 1 \over 2}, 2 \end{pmatrix}\)
- \(\begin{pmatrix} { \large 7 \over 5} , { \large 1 \over 5} \end{pmatrix}\)
- \((1 , 1)\)
- \((3 , -3)\)
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Gabarito
A
Comentário do professor
Para achar o ponto da reta \(2x+y=3\) mais próximo de P(1,3), basta traçar a perpendicular a essa reta que passe por P; o pé dessa perpendicular é o ponto de menor distância.
Reescrevendo a reta dada: \(y=-2x+3\), cujo coeficiente angular é \(m_r=-2\). A perpendicular tem coeficiente \(m_s\) tal que \(m_r\cdot m_s=-1\), logo \(m_s=\tfrac{1}{2}\).
A equação da reta perpendicular por P é \(y-3=\tfrac{1}{2}(x-1)\), isto é \(y=\tfrac{x+5}{2}\).
O ponto buscado é a interseção entre \(y=-2x+3\) e \(y=\tfrac{x+5}{2}\). Igualando: \(-2x+3=\tfrac{x+5}{2}\) leva a \(x=\tfrac{1}{5}\).
Substituindo em qualquer equação obtém-se \(y=\tfrac{13}{5}\). Portanto, o ponto mais próximo é \(\left(\tfrac{1}{5},\tfrac{13}{5}\right)\).
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