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Questão FC235793

Considere uma reta r, de equação x + y = k, sendo k uma constante real, e uma circunferência \(λ\), de equação x2 + y2 = 4, ambas representadas em um mesmo sistema de coordenadas r

Geometria Analítica

CESGRANRIO · 2018

Considere uma reta r, de equação x + y = k, sendo k uma constante real, e uma circunferência \(λ\), de equação x2 + y2 = 4, ambas representadas em um mesmo sistema de coordenadas retangulares.

 

O menor valor real do parâmetro k, que faz a reta r intersectar a circunferência \(λ\) em apenas um ponto, é igual a

  1. \(- 2 \sqrt{2}\)
  2. \(- 2 \sqrt{3}\)
  3. \(-\sqrt{6}\)
  4. \(2 \sqrt{3}\)
  5. \(4 \sqrt{2}\)
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Gabarito

A

Comentário do professor

A reta é dada por \(x+y=k\) e a circunferência por \(x^2+y^2=4\), centro na origem e raio \(2\). Para que haja tangência, a distância do centro à reta deve ser igual ao raio.

A equação da reta em forma ax+by+c=0 é \(x+y-k=0\). A distância do ponto \((0,0)\) a essa reta é \(\dfrac{|k|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{|k|}{\sqrt2}\).

Pela condição de tangência temos \(\dfrac{|k|}{\sqrt2}=2\), logo \(|k|=2\sqrt2\). O menor valor real de \(k\) que garante interseção em apenas um ponto é, portanto, \(-2\sqrt2\).

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