Uma equação da reta r que passa pelo ponto de interseção entre as retas s: x – 2y = 4 e t: x – y = 4 e forma com a reta u: 9x – 5y = 12 um ângulo de 45º é dada por

Gabarito

A

Comentário do professor

Interseção: resolvendo \(x-2y=4\) e \(x-y=4\) obtemos \(y=0\) e \(x=4\), logo o ponto comum é (4,0).

Coeficiente angular da reta \(u:9x-5y=12\): isolando \(y\) vem \(y=\tfrac{9}{5}x-\tfrac{12}{5}\), portanto \(m_u=\tfrac{9}{5}\).

Para formar ângulo de \(45^\circ\) usamos a fórmula da tangente do ângulo entre retas: \(\left|\dfrac{m_r-m_u}{1+m_rm_u}\right|= \tan45^\circ=1\).

Essa equação gera duas soluções para \(m_r\); resolvendo uma delas obtemos \(m_r=\tfrac{2}{7}\) (a outra é \(-\tfrac{7}{2}\), que também seria válida geometricamente).

Como \(r\) passa por (4,0) e tem \(m_r=\tfrac{2}{7}\), sua forma reduzida é \(y=\tfrac{2}{7}x-\tfrac{8}{7}\). Multiplicando por 7 obtemos a equação desejada: \(2x-7y=8\).