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Questão FC235798

Considere o plano do \(\mathbb{R}\) definido algebricamente pela equação 6x + 3y + 2z = 6. Tal plano intercepta os eixos coordenados em três pontos que, juntamente com a origem, sã

Geometria Analítica

CESGRANRIO · 2014

Considere o plano do \(\mathbb{R}\) definido algebricamente pela equação 6x + 3y + 2z = 6. Tal plano intercepta os eixos coordenados em três pontos que, juntamente com a origem, são os vértices de uma pirâmide triangular.

 

Considerando como unidade de volume (u.v.) o volume de um cubo cuja aresta é a unidade usada para graduar os eixos coordenados, o volume da pirâmide mede

  1. 1 u.v.
  2. 2 u.v.
  3. 3 u.v.
  4. 4 u.v.
  5. 6 u.v.
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Gabarito

A

Comentário do professor

O plano \(6x+3y+2z=6\) intercepta os eixos quando as outras coordenadas são zero: \(x=1\) (se \(y=z=0\)), \(y=2\) (se \(x=z=0\)) e \(z=3\) (se \(x=y=0\)).

Assim, os vértices da pirâmide são \((1,0,0)\), \((0,2,0)\), \((0,0,3)\) e a origem \((0,0,0)\).

A **base** pode ser tomada como o triângulo no plano \(z=0\) formado por \((1,0,0)\), \((0,2,0)\) e \((0,0,0)\). Sua área é \(A_b=\dfrac{1\cdot2}{2}=1\) (u.a.).

A **altura** da pirâmide é a distância do vértice \((0,0,3)\) ao plano da base \(z=0\), isto é, \(h=3\).

O **volume** é \(V=\dfrac{A_b\,h}{3}=\dfrac{1\cdot3}{3}=1\) u.v.

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