Qual o menor valor de z que atende às condições propostas?

Gabarito

B

Comentário do professor

O **módulo** de um vetor é \( \sqrt{\text{soma dos quadrados das componentes}} \). Para \(\vec u=(6,7,\sqrt z)\) temos

\(|\vec u| = \sqrt{6^2+7^2+(\sqrt z)^2} = \sqrt{36+49+z} = \sqrt{85+z}\).

Queremos que \(|\vec u|\) seja inteiro, logo \(85+z\) deve ser um **quadrado perfeito**. Seja \(k\in\mathbb{Z}^+\) tal que \(k^2=85+z\).

Então \(z=k^2-85\) e, como \(z>0\), procuramos o menor inteiro \(k\) com \(k^2>85\). Como \(9^2=81<85\) e \(10^2=100>85\), o menor \(k\) é 10.

Portanto o **menor valor** positivo de \(z\) é \(z=10^2-85=15\), o que dá \(|\vec u|=\sqrt{100}=10\).