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Questão FC235802

Considere um sistema cartesiano plano no qual cada unidade no eixo das abscissas e no eixo das ordenadas corresponde a 1 cm. Sejam os pontos no plano: A(0,0), B(2,0), C(2,3) e D(0,

Geometria Analítica

CESGRANRIO · 2013

Considere um sistema cartesiano plano no qual cada unidade no eixo das abscissas e no eixo das ordenadas corresponde a 1 cm.


Sejam os pontos no plano: A(0,0), B(2,0), C(2,3) e D(0,3).


Ao serem multiplicados pela matriz \(M= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}\), esses pontos são transformados em E, F, G e H. Então, a área, em cm 2, do quadrilátero cujos vértices são E, F, G e H é igual a

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Gabarito

Errado

Comentário do professor

Ao aplicar a transformação linear dada pela matriz M \( \begin{pmatrix}3 & 1\\[2pt]4 & 2\end{pmatrix}\) aos pontos, obtemos: \(E=(0,0)\), \(F=(2,0)M=(6,2)\), \(G=(2,3)M=(18,8)\) e \(H=(0,3)M=(12,6)\).

O quadrilátero inicial A(0,0), B(2,0), C(2,3), D(0,3) é um retângulo de base 2 e altura 3, logo sua área é \(6\) cm\(^2\).

Uma transformação linear multiplica áreas pelo valor absoluto do determinante da matriz. Aqui \(\det(M)=3\cdot2-1\cdot4=2\).

Portanto a área do quadrilátero transformado é \(6\cdot|\det(M)|=6\cdot2=12\) cm\(^2\).

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