Questão FC235804
Se os vetores \(\vec {v}_1 \quad \mbox e \quad \vec {v}_2\) formam uma base para um espaço vetorial, qualquer vetor v, desse espaço, pode ser escrito como uma combinação linear dos
Geometria Analítica
CESGRANRIO · 2012
Se os vetores \(\vec {v}_1 \quad \mbox e \quad \vec {v}_2\) formam uma base para um espaço vetorial, qualquer vetor v, desse espaço, pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base, ou seja, pode-se escrever \(\vec {v} = a \vec {v}_1 + \beta \vec {v}_2\) , onde os números reais α e β são chamados de coordenadas de \(\vec {v}\) na base formada por \(\vec {v}_1\) e \(\vec {v}_2\).
Na figura a seguir, o vetor \({\vec 1 \over 2} v\) está representado na base formada pelos vetores \(\vec {v}_1\) e \(\vec {v}_2.\)
Qual a soma das coordenadas, na base considerada, do vetor \(\vec {v}?\)
-
\(-10\)
-
\(-5\)
-
\(- \frac {5} {2}\)
-
\(\frac {1} {2}\)
-
\(1\)
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Gabarito
A
Comentário do professor
Seja coordenadas de \(\tfrac{1}{2}\vec v\) dadas por \(a\) e \(b\), isto é \(\tfrac{1}{2}\vec v = a\vec v_1 + b\vec v_2\). Pela definição de coordenadas em uma base, multiplicar o vetor por 2 multiplica também suas coordenadas.
Logo \(\vec v = 2\big(\tfrac{1}{2}\vec v\big) = 2a\,\vec v_1 + 2b\,\vec v_2\). Assim, a soma das coordenadas de \(\vec v\) é \(2a+2b=2(a+b)\).
Observando a representação na figura, as coordenadas de \(\tfrac{1}{2}\vec v\) têm soma \(a+b=-5\). Portanto a soma das coordenadas de \(\vec v\) é \(2(-5)=-10\).
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