Quantos são os pontos de interseção entre a circunferência definida pela equação (x-3)2 + y2 = 25 e a elipse definida pela equação \(\frac {x^2} {4} + \frac {y^2} {16} = 1 ?\)

Gabarito

D

Comentário do professor

Resolva o sistema formado pela circunferência e pela elipse. Da circunferência isolamos \(y^2\): \(y^2=25-(x-3)^2\).

Substituindo na elipse: \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{25-(x-3)^2}{16}=1\). Multiplicando por 16 e simplificando obtém-se \(4x^2+25-(x-3)^2=16\), que reduz a \(3x^2+6x=0\), ou seja \(x(x+2)=0\). Assim \(x=0\) ou \(x=-2\).

Para \(x=0\): \(y^2=25-(0-3)^2=16\Rightarrow y=\pm4\), gerando os pontos \((0,4)\) e \((0,-4)\).
Para \(x=-2\): \(y^2=25-(-2-3)^2=0\Rightarrow y=0\), gerando o ponto \((-2,0)\).

Portanto existem exatamente três pontos de interseção: \((0,4),(0,-4)\) e \((-2,0)\).