Questão FC235809
Qual a equação da reta que é tangente a \(λ\) no ponto \(P\)?
Geometria Analítica
CESGRANRIO · 2012
A circunferência \(λ :x^2-4x+y^2-4y+3=0\) intersecta o eixo das ordenadas nos pontos \(P(0, y_1)\) e \(Q(0,y_2)\) com \(y_1 > y^2\).
Qual a equação da reta que é tangente a \(λ\) no ponto \(P\)?
- \(2x + y = 1\)
- \(2x − y = −3\)
- \(x − 2y = 3\)
- \(x + 2y = 1\)
- \(x + 2y = −6\)
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Gabarito
B
Comentário do professor
Comece encontrando os pontos onde a circunferência corta o eixo \(y\): com \(x=0\) temos \(y^2-4y+3=0\), cujas raízes são \(1\) e \(3\). Como \(y_1>y_2\), o ponto pedido é P(0,3).
A seguir, escreva a equação em forma reduzida completando quadrados: \(x^2-4x+y^2-4y+3=(x-2)^2+(y-2)^2-5\), logo o centro é C(2,2).
O coeficiente angular da reta \(CP\) é \(\frac{2-3}{2-0}=-\tfrac{1}{2}\). A reta tangente em \(P\) é perpendicular a \(CP\), então seu coeficiente é o inverso negativo: \(m_t=2\).
Usando a forma ponto-coeficiente em \(P(0,3)\): \(y-3=2(x-0)\), obteremos, em forma implícita, a equação da reta tangente: \(2x-y=-3\).
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