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Questão FC235813

A figura abaixo apresenta duas elipses, uma cujo eixo maior está sobre o eixo x (elipse menor) e cuja equação é dada por \(\dfrac {\times^2} {a^2} \, + \, \dfrac {y^2} {b^2} \, = \

Geometria Analítica

CESGRANRIO · 2012

A figura abaixo apresenta duas elipses, uma cujo eixo maior está sobre o eixo x (elipse menor) e cuja equação é dada por \(\dfrac {\times^2} {a^2} \, + \, \dfrac {y^2} {b^2} \, = \, 1,\) e outra cujo eixo maior está sobre o eixo y (elipse maior) e cuja equação é dada por \(\dfrac {\times^2} {c^2} \, + \, \dfrac {y^2} {d^2} \, = \, 1.\)

 

 

Os valores absolutos |a|, |b|, |c| e |d| estão relacionados com os comprimentos dos semieixos das elipses e são tais que

  1. |a| < |b| < |c| < |d|
  2. |b| < |a| < |c| < |d|
  3. |b| < |a| < |d| < |c|
  4. |d| < |c| < |a| < |b|
  5. |d| < |c| < |b| < |a|
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Gabarito

B

Comentário do professor

A equação da elipse menor é \( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) e seu **eixo maior** está sobre o eixo \(x\). Isso indica que \(a\) é o semi‑eixo maior e \(b\) o semi‑eixo menor, logo \(|b|<|a|\).

A elipse maior tem equação \( \dfrac{x^2}{c^2}+\dfrac{y^2}{d^2}=1\) e seu **eixo maior** está sobre o eixo \(y\). Assim \(d\) é o semi‑eixo maior e \(c\) o semi‑eixo menor, portanto \(|c|<|d|\).

Observando a figura, a elipse maior envolve a menor: seu semi‑eixo horizontal \(c\) é maior que o semi‑eixo horizontal maior da elipse menor \(a\). Combinando as desigualdades obtém‑se a cadeia \(|b|<|a|<|c|<|d|\), que corresponde à alternativa correta.

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