A figura apresenta um cubo ABCDEFGH de aresta 3a. Os pontos P e Q dividem a aresta EH em três partes iguais, e os pontos R e S dividem a aresta BC também em três partes iguais. O c

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Coloque o vértice \(A\) na origem e eixos ao longo das arestas: \(A=(0,0,0)\), \(E=(0,0,3a)\), \(H=(0,3a,3a)\), \(B=(3a,0,0)\), \(C=(3a,3a,0)\). Como \(P\) e \(Q\) dividem \(EH\) em três partes, \(P=(0,a,3a)\). Como \(R\) e \(S\) dividem \(BC\), \(S=(3a,2a,0)\).

Forme os vetores \(\overrightarrow{AP}= (0,a,3a)\) e \(\overrightarrow{AS}=(3a,2a,0)\).

Use o produto escalar: \(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AS}=0\cdot3a + a\cdot2a + 3a\cdot0 = 2a^2\).

Calcule as normas: \(|\overrightarrow{AP}|=a\sqrt{10}\), \(|\overrightarrow{AS}|=a\sqrt{13}\).

O cosseno do ângulo é \(\cos\theta=\dfrac{2a^2}{a\sqrt{10}\,a\sqrt{13}}=\dfrac{2}{\sqrt{130}}=\dfrac{\sqrt{130}}{65}\), que coincide com a alternativa correta.