Qual é a área do triângulo APS?

Gabarito

A

Comentário do professor

Coloque o vértice \(A\) na origem e os eixos ao longo das arestas: \(A=(0,0,0)\), \(B=(3a,0,0)\), \(C=(3a,3a,0)\), \(E=(0,0,3a)\), \(H=(0,3a,3a)\).

Como \(P\) divide \(EH\) em três partes, \(P=(0,a,3a)\). Como \(S\) é o segundo ponto em \(BC\), \(S=(3a,2a,0)\).

Formam-se os vetores do triângulo: \(\vec{AP}=(0,a,3a)\) e \(\vec{AS}=(3a,2a,0)\). Calcule o produto vetorial \(\vec{AP}\times\vec{AS}=(-6a^2,\,9a^2,\,-3a^2)\).

A norma é \(\|\vec{AP}\times\vec{AS}\|=a^2\sqrt{36+81+9}=a^2\sqrt{126}=3a^2\sqrt{14}\). A área do triângulo é metade dessa norma: \(A=\dfrac{1}{2}\,3a^2\sqrt{14}=3a^2\dfrac{\sqrt{14}}{2}\).