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Questão FC235822

Considere z uma variável complexa que se apresenta decomposta na forma z = x + jy, x e y números reais. O gráfico acima mostra o plano complexo e a figura de um círculo centrado em

Geometria Analítica

CESGRANRIO · 2011

 

Considere z uma variável complexa que se apresenta decomposta na forma z = x + jy, x e y números reais. O gráfico acima mostra o plano complexo e a figura de um círculo centrado em z = 2 e de raio igual a 3.


O lugar geométrico da região sombreada, não incluindo a borda (circunferência), é expresso por

  1. Iz − 2I = 3
  2. Iz + 2I < 3
  3. IzI < 9
  4. x2 + y2 < 9
  5. x2 + y2 −4x < 5
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

A figura mostra um círculo de centro em centro \((2,0)\) e raio \(3\). Em termos de módulo complexo, os pontos do círculo satisfazem \(|z-2|=3\), com \(z=x+jy\).

Escrevendo em coordenadas reais, a condição do círculo é \((x-2)^2+y^2=3^2=9\). Desenvolvendo, obtemos \(x^2-4x+4+y^2=9\), ou seja \(x^2+y^2-4x=5\).

Como a região sombreada é o interior do círculo, não incluindo a borda, a distância ao centro deve ser estritamente menor que o raio: \(|z-2|<3\). Elevando ao quadrado resulta \((x-2)^2+y^2<9\), que, ao expandir, dá a desigualdade pedida \(x^2+y^2-4x<5\).

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