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Questão FC235824

Qual dos conjuntos a seguir é uma base para o espaço vetorial \(IR^2\)?

Geometria Analítica

CESGRANRIO · 2011

Se um conjunto de vetores é base de um espaço vetorial, então qualquer vetor desse espaço pode ser obtido através de combinações lineares dos vetores do conjunto.

 

Qual dos conjuntos a seguir é uma base para o espaço vetorial \(IR^2\)?

  1. {(−1,2)}
  2. {(1,1),(3,3)}
  3. {(0,0), (3,4)}
  4. {(3,1), (8,3)}
  5. {(1,2), (3,5), (1,0)}
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Gabarito

D

Comentário do professor

Os vetores \(\,(3,1)\) e \(\,(8,3)\) formam uma base de \(\mathbb R^2\) porque são linearmente independentes e, por terem duas componentes, geram todo o espaço.

Basta calcular o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores: \( \det\begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix}=3\cdot3-1\cdot8=1\neq0\). Como o determinante é não nulo, os vetores são linearmente independentes.

Além disso, qualquer vetor \((x,y)\in\mathbb R^2\) pode ser escrito de forma única como combinação linear: \((x,y)=a(3,1)+b(8,3)\). Resolvendo, obtém-se \(a=3x-8y\) e \(b= -x+3y\), logo existem coeficientes que representam arbitrariamente qualquer \((x,y)\). Portanto, o conjunto é uma base de \(\mathbb R^2\).

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