Questão FC235826
A área do quadrilátero da figura acima (região sombreada) pode ser obtida através do módulo da expressão
Geometria Analítica
CESGRANRIO · 2011
A área do quadrilátero da figura acima (região sombreada) pode ser obtida através do módulo da expressão
- \(\det \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\)
- \(\det \begin{pmatrix}a & c \\ a+c & b+d\end{pmatrix}\)
- \({\large{1 \over 2}} \det \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\)
- \({\large{1 \over 2}} \det \begin{pmatrix}a & c \\ a+c & b+d\end{pmatrix}\)
- \({\large{1 \over 2}} \det \begin{pmatrix}a & b & 1 \\ c & d & 1 \\ a+c & c+d & 1\end{pmatrix}\)
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Gabarito
A
Comentário do professor
A área da figura é dada pelo módulo do determinante dos vetores que formam o paralelogramo. Em coordenadas, tome \(\vec u=(a,b)\) e \(\vec v=(c,d)\).
O determinante \( \det\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc\) representa a área orientada do paralelogramo gerado por \(\vec u\) e \(\vec v\): seu sinal indica a orientação relativa dos vetores e seu valor absoluto, a área geométrica.
Portanto, a área procurada é \(A=\left|\det\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\right|=\left|ad-bc\right|\).
Isso corresponde também à magnitude do produto vetorial em duas dimensões, que coincide com o determinante acima.
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